1、实用文档柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西(Cauchy)不等式：(ah +a2b2 +anbn 2 <(af +a； +a2+b2 +b：)悟,灯 w R,i =1,2n )等号当且仅当ai =a2=an =0或bi =kai时成立(k为常数，i=1,20n)现将它的证明介绍如下：方法1 证明：构造二次函数f (x) =(a1x+h 2 +(a2x+b2 2 +十(anx + b. 2=a2
2、a2a2x22a1bla2b2aj xb2b2b：由构造知 f(x)占0恒成立1 *22n又，a a2an 一 0, 4 =4(a1b +a2b + +anbn 2 -4(a2 +a2 + +a2lb2 +b2 + +b2 )«0即匕+a2b2十十anbn 2 4a； +a； +a； g2+b2+b；)当且仅当aix+bi =0(i =1,2n)即曳=a2 =|l| =曳时等号成立bi b2bn方法2证明：数学归纳法,22(1)当n=1时 左式=(&匕)右式=(40 )显然左式=右式2222222 22 2当 n = 2时右式 =(a1 +a2 Xb )=但也)+(a2b2
3、) +a2b1 +&b2222至(a1t1 ) +(a2b2 ) +2a1a2b1b2 =(a1b2 + a2b2 )=左式故n =1,2时不等式成立(2)假设n=k(kWN,k之2 )时，不等式成立即a1bla2b2akbk2 三a；a2a2b12b；b：当bi=ma,m为常数，i=1,2k或a1 = a2=IM = ak= 0时等号成立B= b；b2 bi2C = aibi a b 2| aC2.AB .C2则 A a21 B b；1 =AB Ab：】BaM a21b：,122 , 22-C ' 2Cak 1bk 1 , ak 1bk 1 - C ak 1bk 1a2a；|
4、a2a21b2b2|b2b户(abi +a2d +用+2八 +aybk+ )2文案大全当bi=mai, m为常数，i =1,2k+1或a1 = a2=ak书时等号成立即 n=k+1时不等式成立综合(1) (2)可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步 开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难 的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两 大类型:1、证明相关数学命题(1)证明不等式例1已
5、知正数a,b,c满足a+b+c=1 证明a3 b3 c3 一 a2 b2 c2证明：利用柯西不等式222 2a2 b2c2=,313 13 1 A2a2a2 +b2b2 +c2c2 . )3、2a2；)f 3弋+ b，33c2l【a + b + c )J2222 *二 ：i a b c a b c a b c = 1.222.又因为+ b+ c之ab b 4c在JC a 等式两边同乘以 2,再加上a+b3(a2 +b2 +c2 巨a2 +b2 +c2 +2ab +2bc +2ac =(a +b +cffe2J2121/3 3 I 3 y _i_ i_ _i_2133 I 33 t c 2 I
6、2 I 2 tb c - a b c a b c - a b c 3 a b c222.333 a b c故 a b c -(2)三角形的相关问题例2设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离,R是ABC外接圆的半径,证明 x . y z - 1、a2 b2 c2 2R证明：由柯西不等式得:十记S为ABC的面积，则TbyJl + JCZJ1 Max + by + c abc abcax by cz = 2S = 2_ =-4R 2R一 一 一 abc ab bc ca 1 1.x . y ',-tzab bc ca 1 2R . abc 2R.2R故不等式成立。2、求解
7、有关数学问题常用于求最值例 3 已知实数 a,b,c,d 满足 a + b+c + d =3, a2 +2b2+3c2 +6d2 =“a2b2 c25试求a的最值解：由柯西不等式得，有2221112b23c26d2b23622即由条件可得，5-a2 - 3-a/ c-2b 、3c 、6d 八解得，1 <a W2当且仅当一一=-=一= 时等号成立, .1 2,1 31 61.1.八代入 b=1,c=-，d =-时，amax=236,，2,1一，b=1,c=,d =一时amin = 133例4空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为 a, P, '/ (a,P, ¥
8、均非象限角)1149求 一2 十 -2百+ 2-77的最小值。sin2 1 sin2 : sin2解：由柯西不等式得:()2(2-)2(-)2(sin2： sin2 sin2 )sin 二 sin - sinsin -2.sin - sinsin -3- sin )2 sin14922 -22=() ( . 2 - ) ()(sin ： sin : sin ) _ (123)sin 二 sin :sinsin 2：sin I ： sin 2二2149149 2(2 -二) 36=(_2_)一18sin 二 sin : sinsin 二 sin : sin1 49. 一 , .一J + 石+二丁
9、的最小值为18sin 工 sin : sin三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，如果仅从基础知识、基本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对基础知识、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的.而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的基本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题.柯西不等式的变形公式：约定bi e R+,i =1,2n分析：由柯西不等式可得2(gl'an)当且仅当电=ab b2bn222 a1 . a2 .
10、 .an "l -i"1(bib2bnb1b2an等号成立 bnb+b2+bn Q(a+a2+ an 2设 x1 ,x2,Xn 亡 R;且XI +X2 +Xn =1 ,证明2X1X1X22.X2X3XnXn1 r 二Xn Xn %X12证明:由变形公式得:2X1X1X222-X2.XnX2X3XnXnXn2 xnX1(X1 +X2 + +Xn J1k =X1X2X2X3 广XnX12例2 (2007年广州市一模理科) 已知a, b>0,且a+b=1,求1/2a+1/b的最小值解析：a, b>0,且a+b=1,由柯西不等知2a b=.2/2 12=3 2a b a
11、 b 2.一.v 2 / 21rL,11、3 r当且仅当 =1即a=42 1,b=2寸2时等号成立二1-+-=3+42a b<2a bJmin 2练习 设a1, a2,，an E N 各不相同 证明a12221*。+1+23 n 2 3 n证明：将ai,a2,，an从新排序设为a一二 a2 ： ":二 an则有 al _1, a2 _ 2,，ann 1仝Z k 4 aknn .而所需证目标：'、, a2 _ v 1k 4 k k 4 k结合柯西不等式得:k2akakk2 人km ak J2 口 k2 >4kak得结论、当k 4 k k 4柯西不等式在解题中的几点应
12、用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重 视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条 件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式人民教育出版社高中代数下册“不等式” 一章的习题中有这样一道题（ P、15练习第2题）：求证：ac+bdWQa2 +b2 * &2 +d2这题用比较法是很容易证明的,这里用比值的方法来证明。证明：当a=b=c（或c=d=0）时，显然成立；假设 a2 + b2#0 且c2+d2 #0,则|ac +bd|ac| +|bd|a2b2*. c2d2a2b
13、2*c2d2ac|+|bd|a2 b2* .c2 d2 a2 b2* .c2 d2<122ab22cd2,J；%d2d222aka2 +b2c2. 2cdb22 a2 +b2=1故 ac+bdW|ac+bd M|ac +|bd M Ja2 + b2 * Yc2 + d2（1）式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。 柯西不等式的一般形式为： 对任意白向实数a1 ,a2,，an及b1,b2,，bn有aia2bib2其中等号当且仅当（2）an .=一 时成立（当bk = 0时，认为ak =0,1 E k < n）. bn柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题
14、作一些介绍。二、柯西不等式在解题中的应用a）利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行 夹逼的方法获证。例、已知 a出-b2 +bJl -a2 =1,求证：a2 +b2 =1。证明：由柯西不等式，得a .1 -b2 b .1 -a2 < a21 -a2 1b2 1 -b2 1=1b 1 b2当且仅当-= b时,上式取等号，1-a2a.ab =。1 -a2 1 -b2,a2b2 = 1 -a2 1 -b2 ,是 a2b2 =1b）利用柯西不等式解无理方程（或方程组）用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式
15、的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不 等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方 程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方程的解。例：解方程Jx2 +工 +1 ）2 + _1 一 =2 +1。X2;x 1 2 x X 1由柯西不等式知 +工+(x+1)2x x 1x x 1>+x 1 x：1)2 (x 1)2,2 1 x(x 1)x21xx221(x 1)2(x 1)2_2 -1 x(x 1)1当上式取等号时有 x(x 1) = 一1一x(x 1)成立，即2._.2_ 一x +x+1=0 (无实根)或 x +x1=0,
16、即-1 -.5、一x=,经检验，原方程的根为2用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的解。 例：解方程组x y z = 9x w =6x4 x2(y2 z2 w2) w2(y2 w2)=486解：原方程组可化为x y z =9x w =6(x2 y2 z2)(x2 w2) =486运用柯西不等式得2(x2 y2 z2)q=27叽8182两式相乘，得x2 y2 z2 , x2 w2-486当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为 x=y=z=w=3.c) 柯西不等式证明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常
17、数的巧拆、结构的巧变、 巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特 征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。例：设 ai >a2 >- >an >an+ 求证：1111 0a一a2a2 - a3an - an 1 an.1-a1分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:111,-an+). |+ + |>1,户a2 a2 a3an an书 _证明：为了运用柯西不等式，我们将a1 -an书写成a1 -an
18、+ = (a1 - a2 )*(a2 - a3 )+ (an -an 书)于是a1 - a2 广1a2 - a3 r an - an 1+、a1 - a2a2 - a3an - an书)_n2 1.<a1 _a2a2 一 a3+ 1an - an由 J1a 一 a2 a2 " a31 an - an 1a1 - an 1,11故- a 一 a2a2 - a311 八- 0.an - an 1 an 1 - a1我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是： 不等式左边是两个因式这和， 其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形
19、式，就可以引用柯西不等式来证明。例：求证： x x12 +xf +%'y12 +y2(x +y f +M +y? f证明:,x；x2.y12y2=x；x2-y2I，2.x；x； y2 y2由柯西不等式得x2x2 y2 y2 - x1 y1x2y2其中等号当且仅当 x1 =ky1 , x2=ky2时成立。x；x2 y； y2 -x* X2V2 2.x1 - x2 , y1 - y222=xi yi j _ 1X2 y222222,Xi X2、yi y2 ,Xi2x； 厂y； y22 xmx?y2其中等号当且仅当 =ky1：22. xi - yi i . ix2 - y2.,x2 =ky2
20、时成立。巧拆常数：例：设a、b、c为正数且各不相等。求证:分析：: a、b、c均为正i i i，为证结论正确只需证：2( a - b c) - - - 9a b b c c a而 2(a b d) = (a b) (b c) (c a)2又 9 =(i T i)ri i i证明：；2(a b - c)( - -)a b b c c ai i二(a b) (b c) (c 班工2之(i+i+i) =9又a、b、c各不相等，故等号不能成立，原不等式成立。重新安排某些项的次序：例：a、b 为非负数，a + b=1，xi, x2 e R +求证：(axi bx2)(bxi ax2) - xix2分析：
21、不等号左边为两个二项式积,a,bw R-,xi,x2亡R每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证：(ax bx2)(bxi ax2)2=(axi bx2)(ax2 bxi) - (a； xix2 b- xix2)=(a b)2 xix2 ; xix2(. a + b=i)结构的改变从而达到使用柯西不等式:例若a > b > c求证:a -b b -c a -c分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了丁 a c = (a b)十(b c) <a>c a -c > 0，11.结论
22、改为(a -c)( -) , 4a-b b-c证明：(a -c)(一 a2.(1 1)1十 -bb1)=(a-b) (b-c)(-c -a-b b-c添项：例：a,b,c Ra b求证：-分析：左端变形3> 2b . 1二(a b c)(，只需证此式+b c c a9 -之一即可2证明._a_ - -b-b c c a3=(1)(1)(M 1)=(a b c)(111112-(111)= 5(b c) (c a) (a b)(b 七F)=9933二一一 2上a b注：柯西不等式：a、bWR*,则a+b之2加112推论：（a+b）（+） ±4 =（1 十 1）2其中 a、b=Ra
23、 b111o（a+b+c）（一十一十一）29=（1 十1 +1）2 其中 a、 b、 c R a b c«* a.制 个例.已知 a, a, a3,，an, b1, b2,，bn为正数，求证： （Z她）0勺之2由尸证明：左边=_ .1 ."二'.111， Ia 浦* n q环 >1¥马例.对实数 a, a2,，an,求证：且_ 二1里 n n证明：左边=j-i 题例.设a, b, c为正数，且 a+b+c=1,求证:g+匕+ly 之学a b c J证明：左边=-I+；,+ 一；一 .：+二. 3a b c=一 1 "|3 a b c 3 a
24、 b c1口 + （。+与+白）（1+ 1 + 1）（之1"+（石-一 +痣.一+忑二）丁3a b c 3 Ja Jb Jc，一4111,1172 3 42” 12M例.若n是不小于2的正整数，试证:所以求证式等价于1十盟+ 11禺+2+A +<2n1114由柯西不等式有（H+A H）（符+ 1） + （附+ 2）+A +2符/超+1 盟+ 22n11 A 1必2题2 、 4于是+A + >=之盟+1 制+ 22 敖（界 + D + 伽 + 2）+A + 2界 3界+ 11 7J十一n又由柯西不等式有+A + < f（l2 +22 +A +）用鞭+2% +A8 +
25、1），伽 + 2）W1匚 5i TT i i Or" 上p+A + = J 器（一 ）=1 双总+ 1）（月+ 1）（月+ 2）（2霏一1）（2用 用2月2实用其档.aVI三 1例.设xi, x2，xn都是正数（n32）且，：/T 求证： 乙X -证明：不等式左端即二£ 1>i，取必，z七 Z” 2-1y>则一(2)由柯西不等式有二. .二匚门.卜”文案大全即二- - J综合（1）、（2）、（3）、（4）式得:舛w 1-1d）用柯西不等式证明条件不等式nn柯西不等式中有三个因式z a2，2bi2i =1i 1n'、aQi =1而一般题目中只有一个或两个因
26、式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值）,这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量ai , bi具有广泛的选择余地，任意两个元素ai , aj （或bi , bj ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧, 等式。卜面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不例：已知 a,b三 R ; a+b=1,x1,x2 亡 R：求证： ax1bx2 bx1 ax2 i: x1x2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要
27、证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下, 情况就不同了。证明： axibx2 bxiax?=axi bx2 , ax? bxI实用文档2=a b X1 x2 = X1 x2例、X1, x2，Xn w Rt 求证:2XiX2XXXn X1X2 -，XnX3XnX1（1984年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式仅2 + X3 + Xn + X1 ）,也即嵌以因式仅1 +X2 +xn ）,由柯西不等式，得2XiX22XXXn/ *(X2X3 +'一 +xn - X1)X3XnX1.'xn.'Xi.2._ 2_ 2 2,X2, X3HI , Xn. X1
28、工 |-T= *7X7 +f= *7X3 +IH +Txn' +-7= *7x1X2, x3x xn. X12h1：X1 X2 III Xn ,2 曰X1 X2X3Xn2Xn X1X2XnX1文案大全e）利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西 不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用 柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用
29、柯西不等式来求解一些极值问题。例设非负实数««2Qn满足口132+Wn =1,求：- 1：- 21 - 2 -1 . 1 L- 1 . 1' ,二 3 ' ""n的最小值。（1982年西德数学奥林匹克度题）解：易验证1(二 1： 2+1=.in)22-12-1同理可得2+1=2 - ： 2：n1 : _2n-12+1=2 Tn二 1' 二 3、- +2-12 -1 2为了利用柯西不等式，注意到(2 -a1) (2 -a2)(2-an) = 2n - (a1 a2 - an) = 2n - 1,-)2 - - n11(2n -1)
30、( +2 一二12 一二2-a1)(2 - a2) , ,(2-an).(2 - ： 1.y n 二二2n -1c 22nny - n =2n -1 2n -11n等万当且仅当 a1 =a2 = ''”=an =一时成立，从而 y有取小值 n2n 7n例设X1,X2,''；xn都是正数，n至2,且£ Xi =1,求证: i 1n“ xi n xi£ i三一 .( 1989年全国数学冬令营试题)id . 1 - Xin -1证明：令yi =1 xi (i =1,2, -n),由柯西不等式，得nnn v,xi )2 <n *Z xi =n,
31、 即 £ 弋xi4而.i 1i 1i 1n n同理，得 Q/yi )2 Mn ' yii 1i 1n=n (1 f xi) = n(n -1),i 1n即 , yi - n(n -1).i 1又由柯西不等式，得n n 1 n 1工 yyi "工j= -( 4yi *j=) =/i±i£ yiif4 yi1.V1n“yi 1从而nzi 1n=£i 16,利用柯西不等式解三角问题。三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条 件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要