2023北师大版新教材高中数学必修第一册
第一章预备知识
§4一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
题组一一元二次函数的图象与性质
1.（2020江西I缶川二中月考）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图,则此函数的解
析式可能为（）
A.y=|x2-1x-3B.y=|x2-1x+3
C.y=-|x2+|x-3D.y=-1x2-1x+3
2.（2022湖南天壹名校联盟联考）如图为函数y=ax+b的图象，则函数
y=x2+ax+b的图象可能为（）
3.若一元二次函数y=3x2+2（a-l）x+b在区间（-8口上的函数值y随自变量x的
增大而减小，则（）
A.a<-2B.a<-2
C.3>-2D.3>-2
4.若函数y=ax2+2x-4的图象位于x轴下方，则a的取值范围是.
5.(2020湖南长沙长郡中学检测)函数y=2(x-1/+1的图象通过怎样的变换可以
得到函数y=x2的图象？
题组二一元二次不等式及其解法
6.(2022河南安阳高级中学期中)已知集合A={-2,0,L2},B={x|x(x-2)〈期则
AAB=()
A.{1}B.{0,l}
C.{-2,0,2}D.{1,2}
7.不等式组片丁：+3；。,的解集是()
(2x2-7x+6>0
A.(2,3)
B.(1,|)U(2,3)
C(8,|)U(3,+8)
D.(-oo,l)U(2,4-00)
8.(2021福建三明第一中学月考)已知a<0,关于x的一元二次不等式ax2-
(2+a)x+2>0的解集为()
A.{%|xV|,或x>ljB.{%||<x<1j
C.{%|xV1,或x>|}D.^x|l<x<|j
9.(2020山东临沂蒙阴实验中学月考)不等式-x2-3x+4>0的解集为.
题组三三个"二次"之间的关系
10.(2021河北石家庄月考)若关于x的不等式x2-mx+l<0的解集为。，则实数m
的取值范围为()
A.(-oo,-2]U[2,+oo)
B.(-°°,-2)U(2,+oo)
C.[-2,2]
D.(-2,2)
11.若不等式ax2+bx-l>0的解集是{x|3<x<4},求实数a,b的值.
12.(2020湖南长沙雅礼中学检测)若一元二次函数y=x2-(2k+l)x+k2+l的图象
与x轴的两个交点分别为(Xl,0),(X2,0),且X1,X2都大于1.
⑴求实数k的取值范围；
⑵若现总求k的值
第22
题组四一元二次不等式的实际应用
13.(2020广东揭阳三中月考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,
预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比
七月份增长X%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十
月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是.
14.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙
不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造
价20元.
（1）仓库顶部面积S（平方米）的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？
能力提升练
题组-----元二次不等式及其解法
1.（2020河北辛集中学段考）不等式x2-x-21和x2-（2a+l）x+a2+a>0的解集分
别为A和B,且AcB,则实数a的取值范围是（）
A.（0,l）B.[0,l]
C.[-l,l]D.（-l,l）
2.（2021广东中山实验中学等四校联考）关于实数x的不等式a（x-
2仅+1）>。3£尺）的解集不可能是（）
A.{x[x<-1,或x>a}
B.R
C.{x|-l<x<a}
D.{x|a<x<-1}
题组二三个"二次”的综合应用
3.设b>0,若一元二次函数丫=2乂2+5乂+/1的图象为下列图象中的一个厕a的
值为（）
/（j\xJ/xxUx
①②③④
A.lB.-l
C.±lD.--±-
22
4.（多选）（2020北京朝阳期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为
仅仅<-2,或乂>3},则（）
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为卜|xv或%>,
5.若使不等式x2+（a+2）x+2a<0成立的任意一个x都满足不等式x-lwO,则实数
a的取值范围为（）
A.{a|a>-1}B.{a|a>-1}
C.{a|a<-1}D.{a|a<-1}
6.（2021北京北大附属实验学校月考）关于x的不等式（ax-l）2<x2恰有2个整数
解,则实数a的取值范围是（）
2332
力3,/4T4/,3
2332
L3/4T4,3
2332
c3//4T4/」3
2332
7.（2020山东济南历城二中月考）已知关于x的不等式x2-2mx+m+2<0（meR）
的解集为M.
⑴当M为空集时,求实数m的取值范围；
⑵在⑴的条件下，求土炉的最小值；
m+1
⑶当M不为空集，且Mc{x|lwxw4}时,求实数m的取值范围.
题组三一元二次不等式的恒信同成立问题
8.(2022辽宁葫芦岛协作校二联)若命题，x£Rax2-2ax+12>0"是真命题，则
a的取值范围为()
A.(0,4)B.[0,4)
C.(0,12)D.[0,12)
9.(2022安徽池州一中期中)若关于x的不等式2x2-5x-l-m>0在[1,3]上有解，则
实数m的取值范围为()
A.(-oo,2)
B(8,用
C.(-oo,-4)
Ms书
10.(2020广西南宁三中期末)已知a>0时,对任意x>0,有(x-a)(x2+bx-a)“恒成
立厕掷取值范围是•
题组四一元二次不等式的实际应用
11.(2022福建厦门一中月考)为配制一种药液进行了三次稀释，先在容积为
V(V>10)的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，
第二次倒出8升后用水补满，第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中
药液含量不超过容积的60%,则V的取值范围是
12.（2020山东枣庄期中）经观测，某段公路在某时间段内的车流量y（千辆/时）与汽
车的平均速度V（千米/时）之间满足函数关系y、2+；：；；600（v>0）.
⑴在该时段内，当汽车的平均速度V为多少时,车流量V最大?最大车流量为多
少?（精确到0.01）
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应控制在什么范
围内？
13.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3200元时,可全部租出;当
每辆车的月租金每增加50元时（租金增加为50元的整数倍），未租出的车将会增
加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费
50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）设租金为（3200+50X）元/辆（x£N）,用x表示租赁公司的月收益y（单位:元）；
（3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
答案与分层梯度式解析
第一章预备知识
§4一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
1.A由题图可知,函数图象开口向上,a>0排除C、D;顶点的横坐标x=-Q0,故
b<0;图象与v轴交于负半轴，故c<0才非除B.故选A.
2.A由题图可知a<0,b<0,所以技>0,所以函数y=x2+ax+b的图象的对称轴在
y轴右侧，令x=0碧y=b<0,所以函数图象与y轴交于负半轴.故选A.
3.13由题意,得号21,解得aW-2.
4.答案a<-i
解析依题意，得的*6…，
解得a
5.解析将函数y=2(x-l)2+l的图象向左平移1个单位长度，得到函数y=2x2+l
的图象，再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x2的图象，然后横坐标不变，纵坐
标缩短为原来的录得到函数y=x2的图象.
6.A易得B={x|0<x<2}厕ADB={1}.
7.13,.,x2-4x+3<0,.'.(x-l)(x-3)<0,/.l<x<3.
,.2乂2-7乂+6>0,「.a-2)(2乂-3)>0〃。<|或乂>2.
.•・原不等式组的解集为(i,|)U(2,3).
8.13由题意,得(ax-2)(x-l)>0,
又因为a<0,所以卜|)(x-l)<0,且|<1,故|<x<L故选B.
9.答案(-4,1)
解信原不常式可化为x2+3x-4<0,解得-4<x<L所以原不等式的解集为(-4,1).
10r由题意，得△=(-m)2-440,解得-24mw2〃•.实数m的取值范围为[-2,2].故
选C.
11.解析由题意知ax2+bx-l=0的两根为3,4，且awO,
--=3+4
由根与系数的关系知；’
--=3x4,
解得
12.解析⑴由题意可知,X1,X2是关于X的方程x2-(2k+l)x+k2+l=0的两个实
数根，
.■.xi+X2=2k+l,xiX2=k2+l.
又X1>1,X2>L
Z=[—(2k+l)]2-4(/c2+1)>0,
.*Jxr+x2>2,
解得ka且kN1.
・•・实数k的取值范围是｛kIk>,且k/1).
%i+%2=2k+1,得卜=
⑵由
=1
X22%2=
丁•X1X2=等•竽=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得—1(舍去).
••k的值为7.
13.答案20
解析由题意得3860+500+[500(l+x%)+500(l+x%)2]x2>7000化简得
(x%)2+3-x%-0.641,解得x%>0.2或x%W-3.2(舍去)，所以x>20,gpx的最小值
为20.
14.解析(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米，则顶部面积S=xy平方米.由题
意，知40x+2x45y+20xy<3200油基本不等式彳导3200>2
师西+20xy=120回+20xy=120/+20S(当且仅当40x=90y时取"="),
所以S+6M-160W0,即(痣-10)(行+16)40,
解得-16WMW10.
由题意知遥>0,故0(遍410,从而0<S<100.
故仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是40x=90y,且xy=100廨得x=15,即铁栅应设计
为15米.
能力提升练
1.P由已知得A4x|xw-L或xN2},B={x|x<a,或x>a+l}.
若AUB,则{弁7，2故
2.B当a>0时,不等式a(x-a)(x+l)>0可化为(x-a)(x+l)>0,解得x>a或x<-1;
当a=0时,不等式a(x-a)(x+l)>0可化为0>0,也时不等疝的解集为
当-l<a<0时,不等式a(x-a)(x+l)>0可化为(x-a)(x+l)<0,解得
当a=-l时,不等疝a(x-a)(x+l)>0可花为(x+l)2<0,此时不等我的解集为0；
当a<-l时,不等式a(x-a)(x+l)>0可化为(x-a)・(x+l)<0,解得a<x<-L
故A、C、D都有可能,B不可能.
故选B.
3.13由①与②,知函数图象与x轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.已知
X1+X2=/0,故可排除由③与④，知一个根为0,另一个根为正数，即X1+X2=q>0,
又b>0,.'.a<0,图象开口向下，应为③.由图象过原点(0,0%得a2-l=0廨得a=-l或
a=l(舍去).故选B.
4.ABP;关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x[x<-2,或x>3}/.a>0,A正
确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根〃=氤则
Ia'
a+b+c=-6a<0,C错误;不等式bx+c>0即-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B正
确;不等式ex2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-X-1>o,解得x<f或x吟D正
确.故选ABD.
5.13不等式x-140的解集为{x|xwl}.
由题意得不等式x2+(a+2)x+2a<0的解集是{x|xwl}的子集.
不等式x2+(a+2)x+2a<0,即(x+2)(x+a)40.
①当a=2时，不等式的解集为{-2},满足{-2}q{x|x41};
②当a<2时，不等式的解集为凶-2wxw-a},
^{x|-2<x<-a}£{x|x<l},
则-awl,所以-lwa<2;
③当a>2时，不等式的解集为{x卜a4x4-2},满足{x卜a4x4-2}q{x|x41}.
综上所述，实数a的取值范围为
故选B.
6.8不等式(ax-l)2<x2即不等式(ax-l)2-x2<0,即不等式[(a+l)x-l][(a-l)x-
1]<0恰有2个整数解，
.•.(a+l)(a-l)>0,解得a>l或a<-l.
当a>1时,不等式的解集为上岛<x<用，
个整数解为1,2,
・•.2+3,即2a-2<l<3a-3>^1<a<|;
当a<-1时，不等式的解集为同今<x〈用，
个整数解为-L-2,
・••-34今<-2,即-2(a+l)<lw-3(a+l),
解得-|<a
综上所述，实数a的取值范围是-|<awW或处a<|.故选B.
7.解析⑴••・M为空集，
.•・A=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,
角隼得-1<m<2/
」•实数m的取'值范围为
(2)由⑴知则0<m+l<3,
・m2+2m+5_(m+l)2+4
m+1m+1
=(m+l)+^>2j(m+i)-^=4,
当且仅当m+l=《p即m=l时等号成立.
「•/罗的最小值为4.
⑶设函数y=x2-2mx+m+2,结合其图象(图略)可知，
当M不为空集时而MRx"xw4},得
2
』=4m-4(m+2)>0;
l2-2m+m+2>0,
{42-8m+m+2>0,
1<m<4,
解得24m端.
综上,实数m的取值范围为jm|2<m<y］.
8.P当a=0时,原式为12>0,符合题意;当a>0时,△=4a2-48a<0,解得
0<a<12;当a<0时，易知不符合题意.综上,a的取值范围为。12).
9.A令y=2x2-5x-L故问题转化为求函数y=2x2-5x-l在［1,3］上的最大值.
因为抛物线y=2x2-5x-l的对称轴为直线x=»且|i-*卜臼所以ymax=2x9-
5x3-l=2,故m<2.
10.答案(-oo,-l)U(0,+oo)
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